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大学函数题以及答案详解

来源:标准答案网 2024-07-11 19:57:59

函数是数学中的重要概念,它述了数学中的映射关系标+准+答+案+网。在大学数学中,函数是一重要的研究对象。下将介一些大学函数题,并给出详细的解答。

大学函数题以及答案详解(1)

1. 求函数的极限

题目:求函数$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-3}$在$x=3$处的极限。

解答:当$x$趋近于$3$时,分母趋近于$0$,因此我们需要对分子进行因式分解:

  $$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-3}=\frac{(x-3)(x-1)}{x-3}=x-1$$

因此,当$x$趋近于$3$时,$f(x)$趋近于$2$来源www.huitebao.com。即:

$$\lim_{x\rightarrow 3}f(x)=2$$

大学函数题以及答案详解(2)

2. 求函数的导数

题目:求函数$f(x)=x^3-2x^2+3x-4$的导数。

  解答:根据导数的定义,我们可以得到:

  $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

将$f(x)$代上式,得到:

  $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^3-2(x+h)^2+3(x+h)-4-(x^3-2x^2+3x-4)}{h}$$

  化简后得到:

  $$f'(x)=3x^2-4x+3$$

因此,函数$f(x)$的导数为$3x^2-4x+3$。

3. 求函数的极值

  题目:求函数$f(x)=x^3-3x$的极值。

解答:要求函数的极值,我们需要先求出它的导数标~准~答~案~网。将函数$f(x)$代导数式,得到:

  $$f'(x)=3x^2-3$$

令$f'(x)=0$,解得$x=\pm 1$。将$x=\pm 1$代$f(x)$,得到:

  $$f(1)=-2$$

  $$f(-1)=2$$

因此,函数$f(x)$在$x=1$处取得极小值,极小值为$-2$;在$x=-1$处取得极大值,极大值为$2$。

4. 求函数的定积分

  题目:求函数$f(x)=x^2$在区间$[0,1]$上的定积分。

  解答:根据定积分的定义,我们可以得到:

  $$\int_{0}^{1}x^2dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}(i/n)^2$$

  将上式化简后得到:

$$\int_{0}^{1}x^2dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2$$

  根据等差数列求和式,得到:

  $$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

  因此,式可以化为:

  $$\int_{0}^{1}x^2dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{1}{3}$$

因此,函数$f(x)=x^2$在区间$[0,1]$上的定积分为$\frac{1}{3}$原文www.huitebao.com

大学函数题以及答案详解(3)

5. 求函数的不定积分

  题目:求函数$f(x)=\frac{1}{x^2}$的不定积分。

  解答:根据不定积分的定义,我们可以得到:

  $$\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$$

其中,$C$为常数。因此,函数$f(x)=\frac{1}{x^2}$的不定积分为$-\frac{1}{x}+C$。

  以上就是几大学数学中常的函数题目及其详细解答来源www.huitebao.com。函数作为数学中的重要概念,不仅在数学中有着泛的用,也在其他学科中发挥着重要的作用。掌握函数的概念和相关知识,对于大学数学学习和用都非常重要。

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